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Aristotele parcheggia male

Quanto è lunga la traccia lasciata sul suolo da uno pneumatico (che non scivola) in un giro completo della ruota? La risposta è ovvia: la traccia è lunga quanto l'intera circonferenza della ruota. Alcune ruote, però, hanno anche un coprimozzo (o una calotta) al centro, come quella in figura a lato, e questo ha ovviamente una circonferenza più corta di quella dello pneumatico. Dunque, quando la ruota fa un giro completo, il coprimozzo non può lasciare una traccia (in orizzontale) lunga quanto quella dello pneumatico, vero? Guardando all'animazione qui sotto, però, sembra che accada proprio questo: il cerchio esterno (con raggio maggiore) e il cerchio interno (con raggio minore) si “srotolano” esattamente su un segmento di uguale lunghezza... Come è possibile? Questo paradosso di Aristotele, attribuito al grande filosofo e scienziato dell'antichità, ha lasciato parecchie persone interdette, incluso Galileo Galilei.

 



Il fatto è ancora più paradossale se, invece di tracciare il segmento (rosso) ottenuto srotolando la ruota, si osserva il percorso che fa l'estremità del raggio di ciascuna circonferenza (in blu), quando queste si srotolano da un estremo all'altro del segmento (rosso). L'estremità del raggio della circonferenza esterna compie un arco (che si può seguire direttamente con un dito durante il moto) certamente più grande di quello compiuto dall'estremità del raggio della circonferenza interna, come giustamente ci si aspetta, date le dimensioni delle due circonferenze. E, allora, come è possibile che i due diversi cerchi si srotolino su un segmento (rosso) di uguale lunghezza?

Dal punto di vista matematico, il fatto che i due segmenti rossi abbiano la stessa lunghezza è dovuto al fatto che c'è una corrispondenza uno-a-uno dei punti sul cerchio grande con quelli sul cerchio piccolo (il raggio blu unisce costantemente, durante il moto, un punto su una circonferenza con uno – e uno solo – sull'altra). Tuttavia, il fatto che ci sia questa corrispondenza uno-a-uno non implica necessariamente che le due circonferenze abbiano la stessa lunghezza: gli infiniti punti di una qualsiasi curva possono sempre essere messi in corrispondenza uno-a-uno con gli infiniti punti di una qualsiasi altra curva, più o meno lunga (in linguaggio matematico si dice che i punti delle due curve hanno la stessa cardinalità). Dunque, il risultato sopra (segmenti rossi uguali, percorsi blu diversi) non deve meravigliare.

Dal punto di vista fisico, l'errore nasce dal fatto di pensare che, mentre lo pneumatico lascia la sua traccia sul suolo senza scivolare, il coprimozzo faccia altrettanto. Questo, infatti, è impossibile da realizzare: se le due ruote (esterna ed interna), con raggi differenti e unite tra loro, si srotolano lungo linee parallele, almeno una di esse deve scivolare durante lo srotolamento. E se, per evitare lo slittamento, uno usasse un sistema di ingranaggi appositi, le ruote evidentemente si incepperebbero.

Un tale fenomeno si verifica facilmente quando un automobilista parcheggia male, troppo vicino al marciapiede, con la ruota sulla strada e il coprimozzo (o la calotta) sul marciapiede. Lo pneumatico rotola sulla strada senza scivolare, ma il coprimozzo ruota e scivola lungo il marciapiede, lo slittamento essendo ben evidenziato da un rumore molto stridente. La ruota interna non compie, dunque, lo stesso percorso effettivo, anche se le tracce lasciate in orizzontale hanno la stessa lunghezza.