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Un Grand Hotel veramente accogliente

Il signor Hilbert possedeva un Grand Hotel davvero particolare: aveva un numero infinito di stanze, e poteva accogliere qualsiasi ospite. Le camere, infatti, erano sempre tutte occupate ma, nonostante ciò, il signor Hilbert riusciva sempre a trovare una sistemazione anche per qualunque altro ospite sopraggiungesse. Come è possibile – penserete – trovare una stanza libera in un albergo già tutto occupato? Molto semplice: il nuovo ospite viene sistemato nella stanza numero 1, il cui precedente occupante viene sistemato nella stanza numero 2, il cui ospite viene spostato nella camera numero 3, e così via. Poiché non c'è nessuna “ultima stanza” (il numero delle camere è, infatti, infinito), un qualsiasi nuovo ospite può sempre essere alloggiato in una camera, senza che alcuno degli ospiti già presenti debba lasciare l'hotel...

 

Il paradosso del Grand Hotel di Hilbert, come avete potuto capire, non è in realtà un vero “paradosso”, nel senso che è evidente che quanto affermato sia vero, ma questo va certamente contro il senso comune. In pratica, il punto che segnala il paradosso di sopra è che l'affermazione “tutte le stanze sono occupate” non implica necessariamente che “non c'è più posto per nuovi ospiti”, la differenza provenendo dal fatto che per un insieme infinito di elementi non valgono le stesse proprietà intuitive di un insieme finito di elementi. E le cose possono essere ancora più intriganti.

Infatti, il Grand Hotel di Hilbert non riesce ad ospitare un solo nuovo venuto, ma anche un numero infinito di nuovi ospiti... Infatti, basta spostare l'occupante della stanza numero 1 in quella numero 2, l'occupante della stanza numero 2 in quella numero 4, l'occupante della stanza numero 3 in quella numero 6 e così via. Spostando gli ospiti già presenti in una data stanza in una stanza di numero doppio, rimangono libere tutte le stanze con numero dispari: essendo anche queste in numero infinito, è allora possibile far alloggiare un numero infinito di altri ospiti...

E le cose possono anche complicarsi ulteriormente.

Supponete che gli infiniti nuovi ospiti qui sopra siano sopraggiunti tutti in uno stesso bus (evidentemente con infiniti posti a sedere). Cosa succede se al Grand Hotel sopraggiungono infiniti bus di questo tipo? Riuscirà il signor Hilbert a sistemare ancora tutti i nuovi ospiti? La risposta è ancora una volta affermativa. Innanzitutto il signor Hilbert sposta gli ospiti già presenti in modo tale, come sopra, da lasciare vacanti un numero infinito di stanze (ad esempio quelle con numero dispari, come sopra). Poi assegna un dato numero (b) a ciascun bus e un altro dato numero (p) a ciascun posto a sedere in ciascun bus. Le coppie di numeri (b, p) sono, naturalmente, infinite, ma il signor Hilbert può inventarsi qualsiasi algoritmo a suo piacere per assegnare tali infinite coppie alle infinite stanze liberate in precedenza... Riuscite ad inventarne uno anche voi?

Il gioco può anche andare avanti. Supponete che il Grand Hotel si trovi in prossimità dell'Oceano Atlantico (o Pacifico, se preferite), e che ad esso sopraggiungano un numero infinito di portaerei, ciascuna trasportante un numero infinito di bus con infiniti passeggeri a bordo. Ora i livelli di infinito sono diventati 3, per cui invece di associare coppie di numeri (bus, posto) ai numeri delle stanze liberate, occorre inventare un algoritmo che associ terne di numeri (portaerei, bus, posto) ai numeri delle stanze liberate, e questo algoritmo può sempre essere trovato.

Invece, le cose cambiano se i livelli di infinito diventano essi stessi in numero infinito. Il trucco è che coppie, terne, quadruple, ecc. di infiniti elementi possono essere sempre contati, come il numero delle stanze dell'albergo, mentre quando ci sono infiniti livelli di infinito, questi livelli non necessariamente possono più numerarsi, e quindi non si può trovare più un algoritmo che associ un numero infinito di (infiniti) raggruppamenti alle stanze. In pratica – per chi conosce l'aritmetica – è proprio come passare dai numeri naturali (che possono contarsi, ovvero che c'è un “buco” tra un numero e un altro) ai numeri reali (c'è sempre un numero reale tra due numeri reali, senza alcun “buco”).

 

S. Esposito, fisico