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La straordinaria corsa di Achille (senza tartaruga) e Patroclo

Alle prime luci dell'alba di quel fatidico giorno, un gruppetto di uomini si recò al mare, sulla costa della città di Troia: Achille e il suo amico Patroclo stavano per fare una gara di corsa, e i compagni dovevano fare da giudici tra i due amici. La gara venne organizzata nel seguente modo. Innanzitutto, una volta arrivati sul posto, i giudici posero una corda della lunghezza di uno stadio sulla sabbia, e quindi si sedettero sulle rocce che si trovavano vicino ad una delle estremità della corda. Poi, ordinarono a Patroclo di correre per tutta la lunghezza della corda, e misurarono il tempo che lui impiegò per percorrere uno stadio di lunghezza. Dopo, fecero fare lo stesso ad Achille, e i giudici osservarono che questi aveva impiegato esattamente la metà del tempo di Patroclo.

Allora, dopo aver disposto un'altra corda, uguale alla prima, in serie a quella, stabilirono che Achille dovesse percorrere la lunghezza di entrambe le corde, per un totale di due stadi, mentre Patroclo sarebbe partito dall'intersezione delle due corde, percorrendo così solo uno stadio. Al sorgere del Sole, al primo raggio di luce, iniziarono la gara contemporaneamente, e i giudici constatarono quello che si aspettavano: i due amici arrivarono simultaneamente al traguardo. Achille e Patroclo, però, sapevano benissimo che le cose non erano andate affatto così: per entrambi i corridori era evidente che era arrivato ben prima Achille!

“Come è possibile?” – si chiesero i giudici. Il dio Mercurio aveva agitato il suo bastone da messaggero degli dei appena Apollo aveva inviato il primo raggio di Sole, e così conferì una velocità incredibile ad entrambi i corridori, fino ai limiti imposti dalle leggi fisiche. Ma, anche in questo caso, come è possibile che i due amici avevano visto che era arrivato prima Achille, mentre i giudici li avevano visti arrivare contemporaneamente?

Il paradosso di Achille e Patroclo è una variante di tanti altri (anche più famosi) paradossi che si incontrano nella teoria della relatività di Einstein, che regola il movimento di corpi che si muovono a velocità elevatissime, prossime alla velocità della luce, e quindi diversissime da quelle a cui siamo abituati normalmente.

Nei casi che si incontrano quotidianamente, infatti, una corsa simile a quella descritta sopra, con velocità estremamente più piccole di quella della luce, ha un unico esito: sia i giudici fermi sulle rocce che i due corridori osservano l'arrivo contemporaneo. La spiegazione che danno i giudici di questo fatto è molto semplice: essi, che si vedono fermi sulle rocce, vedono arrivarsi Achille con una velocità doppia (2v) di quella di Patroclo (v), ma poiché la distanza che deve percorrere è anch'essa il doppio, i due corridori arrivano dopo uno stesso tempo alle rocce. Anche la spiegazione che danno i due corridori è semplice, se si tiene presente cosa si osserva quando due treni in movimento si incrociano, viaggiando in direzione opposta o nella stessa direzione: nel primo caso i viaggiatori su un treno (che si vedono fermi) osservano che l'altro treno viaggia più velocemente (somma delle due velocità), mentre nel secondo caso essi osservano che l'altro treno viaggia più lentamente (differenza delle due velocità).

Così, Patroclo si vede fermo, e osserva che le rocce con i giudici si avvicinano a lui ad una certa velocità (somma di 0 più v) e in una certa direzione (dal davanti), mentre Achille si avvicina a lui alla stessa velocità (differenza di 2v meno v) ma nella direzione opposta (da dietro): poiché la distanza che le rocce devono percorrere per avvicinarsi a lui (che si vede fermo) è la stessa di quella che deve percorrere Achille per avvicinarsi a lui (che si vede fermo a metà strada), l'incontro di Achille, Patroclo e le rocce con i giudici avviene ancora dopo uno stesso tempo. Allo stesso modo, Achille si vede fermo, e osserva che Patroclo si avvicina a lui (dal davanti) con una certa velocità, mentre le rocce con i giudici si avvicinano (dal davanti) con una velocità doppia, e poiché la distanza che devono percorrere le rocce per raggiungerlo è il doppio di quella che deve percorrere Patroclo (che si trova a metà strada), ancora una volta l'incontro avviene dopo uno stesso tempo.

In tutte le tre spiegazioni, il concetto fondamentale che sta alla loro base è che tutti i tre osservatori (giudici, Achille e Patroclo, i primi fermi e gli altri due in moto con diverse velocità) misurano tempi uguali, sia se si è fermi che se ci si muove: il tempo scorre alla stess maniera in entrambi i casi. Questo fatto, che è molto evidente nelle esperienze quotidiane, in realtà non vale più se ci si muove a velocità elevatissime, prossime a quella della luce. In tal caso, infatti, la legge fondamentale che regola tali fenomeni non è l'invariabilità del  tempo (che vale solo approssimativamente, per velocità “piccole”, quelle che si incontrano quotidianamente), bensì un'altra: la velocità della luce è sempre la stessa, sia se si è fermi che se ci si muove. E le due cose non portano alle stesse conseguenze. Come è possibile?

Consideriamo il caso di un viaggiatore su un treno che lancia una pallina alla sua destra e una alla sua sinistra con la stessa velocità: egli vede che le due palline raggiungeranno il pavimento contemporaneamente, nei punti A e B. Infatti, avendo la stessa velocità, le due palline percorreranno la stessa distanza nello stesso tempo. Il capostazione sulla banchina che vede il treno muoversi davanti a lui (e con esso il viaggiatore e le due palline) nella direzione di B (per esempio), vede ancora che le due palline  raggiungono il pavimento contemporaneamente. Infatti, la pallina lanciata verso B ha una velocità maggiore (velocità di lancio più velocità del viaggiatore che la lancia, ossia del treno) di quella lanciata verso A (velocità di lancio meno velocità del treno), ma poiché il punto A sul treno in movimento si avvicina alla prima pallina, mentre il punto B sul treno si allontana dalla seconda pallina, la pallina che va meno veloce deve percorrere una distanza minore dell'altra. I due effetti si compensano perfettamente, e anche il capostazione fermo a terra vede le due palline che raggiungono contemporaneamente il pavimento. Ora, però, se le due palline viaggiassero con velocità elevatissime, prossime a quella della luce, le due spiegazioni di sopra devono essere riviste, poiché la velocità della luce è la stessa sia per il capostazione che per il viaggiatore, a differenza della velocità delle palline di sopra, che è diversa per i due osservatori.

 


Sostituendo, per esempio, le palline con due raggi di luce da una torcia, nel primo caso il viaggiatore vedrebbe che i due raggi di luce raggiungono A e B contemporaneamente (stessa distanza percorsa con la stessa velocità), ma nel secondo caso il capostazione vede che viene raggiunto prima B dalla seconda pallina e poi A dalla prima. Poiché la velocità della luce è la stessa per entrambi i raggi, ma le distanze percorse per arrivare in A e in B sono diverse, il capostazione non osserva più che i due raggi arrivano contemporaneamente in A e in B. Di conseguenza, due eventi che si osservano essere contemporanei quando state fermi, non lo sono più quando siete in movimento o viceversa, e più è grande la velocità di tale movimento, più la differenza di tempo che intercorre tra gli eventi è grande. In altre parole, il tempo scorre in maniera differente se si è fermi o si è in movimento, e più è grande la velocità, più esso scorre lentamente: il tempo si dilata se siete in movimento.

Questo fatto spiega, dunque, il paradosso di Achille e Patroclo. I giudici fermi sulle rocce vedono i due corridori che arrivano contemporaneamente: per loro il tempo scorre “normalmente”. Per Patroclo, invece, il tempo scorre più lentamente, e ancora più lentamente scorre per Achille, e tale differenza di tempi (a favore di Achille) spiega perché entrambi vedono che Achille arriva prima alle rocce. Questo, però, si può apprezzare solo se i due corridori si muovono a velocità elevatissime, prossime a quelle delle luce: per velocità “normali”, la differenza di tempi è talmente piccola che non riusciamo ad accorgercene (anche se è sempre presente). Meraviglie della teoria della relatività di Einstein!

S. Esposito, fisico

 

Per maggiori dettagli tecnici, potete leggere l'articolo qui (in inglese).