Candeline da spegnere... in comune

Vi siete mai chiesti quanto sia probabile che, nel palazzo dove abitate, vi sia un'altra persona che festeggi il suo compleanno esattamente lo stesso giorno dell'anno in cui lo festeggiate voi? Probabilmente vi sconcerterà apprendere che tale probabilità è molto più elevata di quanto possiate immaginare!

Facciamo un esempio concreto, supponendo che abitiate in un piccolo palazzo in cui vi sono solo 23 persone, e che voi siete nati il giorno x di un certo anno. La probabilità che una seconda persona non festeggi il compleanno lo stesso giorno dell'anno è molto alta: infatti, in un anno (non bisestile, per semplicità) vi sono 365 giorni, per cui vi sono ben 364 altri giorni in cui potrebbe festeggiare, e la probabilità di festeggiare in un giorno diverso è di 364/365.

Ora, se considerate una terza persona, vi saranno 363 giorni su 365 in cui può compiere gli anni in un giorno diverso dalle prime due persone, con una probabilità di 363/365, e la probabilità totale che tutte le tre persone festeggino il compleanno in un giorno diverso è dato dal prodotto delle due singole probabilità, in omaggio ad un ben noto teorema del calcolo delle probabilità. Continuando il ragionamento fino a contare tutte le 23 persone dell'esempio, si ottiene la seguente probabilità che in tale gruppo tutti i 23 compleanni cadano in giorni diversi:

Da questo risultato si può ricavare subito che la probabilità che nel vostro palazzo, abitato da 23 persone, si festeggino due compleanni lo stesso giorno è del 51%. Sorprendente, no? Basta un gruppo di sole 23 persone, e la probabilità di avere due compleanni nello stesso giorno è già superiore al 50%. Se provate a fare lo stesso calcolo con un gruppo di 30 persone, la probabilità di due compleanni lo stesso giorno è del 71%, e con 57 persone si raggiunge già il 99%. Incredibile?

Il paradosso del compleanno, in realtà, nasconde un trucco, riguardo alla domanda posta inizialmente. Infatti, più dettagliatamente, il quesito era di calcolare la probabilità che qualunque persona nel dato gruppo di 23 persone festeggi il compleanno nello stesso giorno di un'altra qualunque persona del gruppo. Quando si  confronta il compleanno della prima persona del gruppo con quella di tutti gli altri, vi sono 22 possibilità di “azzeccare” la data. Considerando la seconda persona del gruppo, questa ha altre 21 possibilità di “azzeccare”, la terza persona ha 20 possibilità e così via. In totale, dunque, quando si confronta ogni persona del gruppo con tutte le altre, vi sono ben 22+21+20+...+1=253 possibilità di “azzeccare” la data, per cui non è poi tanto sorprendente che la probabilità calcolata sopra sia del 51%.

Molto meno paradossale è il risultato che si ottiene quando si vuole calcolare la probabilità che ci sia un'altra persona del gruppo di 23 che festeggi il compleanno lo stesso giorno vostro; ossia, quando scegliete all'inizio la persona (voi) con cui confrontare gli altri. In tal caso, la probabilità che una seconda persona festeggi lo stesso giorno vostro è 1/365=0.3%, e la probabilità che festeggi in un giorno diverso è del 99.7%. Ripetendo questo calcolo per tutte le altre 22 persone, la probabilità che hanno questi di non festeggiare lo stesso giorno è di:

Di conseguenza, la probabilità che gli altri 22 hanno di “azzeccare” il giorno del vostro compleanno è solo del 6%, un risultato molto meno sorprendente.

Il paradosso del compleanno è molto ben noto agli informatici che si occupano di crittografia, ossia di come poter inviare dati riservati (come, ad esempio, i codici della vostra carta di credito) via web in modo tale che altri non possano decifrarli. Possibili hacker potrebbero, infatti, ridurre la complessità di “crackare” la procedura crittografica utilizzata – e quindi impossessarsi dei vostri dati sensibili – utilizzando tanti tentativi casuali di decifrazione, invece di utilizzare tentativi specifici di decifrazione, come appunto nel caso del paradosso del compleanno. Occorre quindi utilizzare delle procedure crittografiche che limitino tali attacchi.

In generale, il paradosso del compleanno viene formulato come il problema che un piccolo numero di eventi casuali indipendenti (come, per esempio, i compleanni) può produrre una probabilità sorprendentemente elevata di “coincidenze”. In tale accezione, tale paradosso trova applicazioni in diversi campi della scienza, inclusa l'ottica quantistica, in cui si è recentemente osservato che esso è realizzato anche dalle particelle di luce, i fotoni (se siete interessati, potete leggere l'articolo, in inglese, qui).

S. Esposito, fisico